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高中数理化

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2025年01期

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名师工作室 | 有数学家渊源的函数创新题分类解析

名师工作室 | 有数学家渊源的函数创新题分类解析

数学的发展，离不开历代数学家的贡献．当数学文化走进数学高考时，有数学家渊源的函数创新题便频频出现在各地高考和模拟考试中，它们构思精巧、韵味十足、魅力四射，既能考查考生的数学素养和关键能力，又能加深考生对数学文化的了解，提高数学文化素养，丰厚数学文化底蕴．下面精选例题并予以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法．
高考全关注 | 例析抽象函数问题的常见题型及其求解策略

高考全关注 | 例析抽象函数问题的常见题型及其求解策略

函数是高中数学的重要内容，抽象函数是指不给出具体函数解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数，也称符号函数．近几年高考客观题中经常出现以抽象函数为背景的压轴题，试题往往与方程、不等式等融合，全面考查学生对函数基础知识与基本性质的理解与掌握情况，既注重通性通法，又注重数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养，因而综合性强，涉及的知识范围广、灵活性强．下面结合近几年高考试题进行归类分析，以揭示此类问题的命
高考全关注 | a２≥０在求解最值问题中的应用

高考全关注 | a２≥０在求解最值问题中的应用

a２≥０是一个典型的不等式，在解决实数范围内的问题时很有效．通过配方法合理放缩，有时能将看似复杂的问题简单化，
高考全关注 | 明晰数列求和热点提升数学核心素养

高考全关注 | 明晰数列求和热点提升数学核心素养

数列求和问题是高考数学中的一大难点，它不仅综合性强，而且题型多变，常常涉及等差数列、等比数列的通项公式、前n 项和公式以及它们的性质和定义．在新高考背景下，数列求和问题的解题方法更是多种多样，如倒序相加法、裂项相消法、错位相减法．要想轻松处理这些形式多样的题型，需要熟练掌握数列前n 项和的求解方法和技巧，选取有效的处理策略．本文通过几道例题深入探讨数列求和问题的求解策略，希望能为读者提供解题思路和
聚焦新课程 | 指向拔尖创新人才培养的导数试题解法

聚焦新课程 | 指向拔尖创新人才培养的导数试题解法

高考数学试题要发挥人才选拔功能，尤其是筛选出拔尖创新人才．而导数试题往往综合性较强，能够较好地考查学生的数学综合素养，是体现数学拔尖创新人才综合能力的重要载体．本文结合回穿构造原理，以２０２４年全国甲卷文科、理科导数解答题为例，阐述处理导数试题的一种解法．
聚焦新课程 | 紧扣课标,聚焦四基,考查四能

聚焦新课程 | 紧扣课标,聚焦四基,考查四能

１学业要求四基是指进一步学习和未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，四能是指从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力．帮助学生提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的数学学习习惯，树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神，掌握四基、提升四能是高中数学教学的课程目标．函数是现代数学基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的基本数学语言和工具，
强基竞赛 | 三招求解“奇偶项交织”递推数列问题

强基竞赛 | 三招求解“奇偶项交织”递推数列问题

三招求解“奇偶项交织”递推数列问题
强基竞赛 | 例析与取整函数有关的竞赛题

强基竞赛 | 例析与取整函数有关的竞赛题

取整函数早在１８世纪就被“数学王子”高斯提出，因此也被称为高斯函数，其定义为设x 为一个实数，y 是不超过x 的最大整数，这种对应关系构成的函数称为取整函数，记作y＝[x]．与取整函数有关的问题在高考和竞赛中经常出现．因为取整符号之间不能相互“运算”，所以学生常常觉得难以入手．
强基竞赛 | 强基计划校考之等式、方程与不等式备考策略

强基竞赛 | 强基计划校考之等式、方程与不等式备考策略

在各高校的强基计划校考中，基本上都要考查等式、方程与不等式内容，除了高考所要求的内容之外，还需要拓展一些其他知识，如三次方程的根与系数的关系、整系数多项式的有理根满足的条件、均值不等式和柯西不等式等．本文举例说明此类问题的考查方式及解决此类问题的方法．
题根研究 | ２０２４年全国甲卷理科数学第１１题的多解与变式探究

题根研究 | ２０２４年全国甲卷理科数学第１１题的多解与变式探究

解三角形问题在高中数学中占据着重要地位，它不仅考查学生对正弦定理、余弦定理等基础知识的掌握程度，还考查学生的逻辑思维和运算求解能力．２０２４年全国甲卷理科数学第１１题是一道典型的解三角形试题，具有一定的难度．本文对该题进行多角度分析，并在此基础上进行变式探究，以期为学生备考复习提供有益的参考．
题根研究 | 一个对数恒等式及其应用

题根研究 | 一个对数恒等式及其应用

对数是高中阶段引入的一个新概念，它在高中数学及自然科学中有着重要的作用．对数运算有很多性质及恒等式，它们在解题中有着广泛的应用，常用于解决指数函数和幂函数的相关问题．此外，灵活运用对数恒等式及对数运算法则，可以解决某些复杂运算问题．本文归结出一个对数恒等式，并展示该恒等式的相关应用，供读者参考．
考题分类评析 | 分组求和法在数列求和问题中的应用探究

考题分类评析 | 分组求和法在数列求和问题中的应用探究

数列求和问题解题方法千变万化，是高中数学的难点，分组求和法是求解数列求和问题的重要方法．所谓分组求和法就是将某些不能直接求和的数列拆开或变形，转化为几个可求和的数列，然后分别求和，最后再将它们合并，所以该法也叫并项求和法．那么这种方法适用于哪些数列呢？本文对此加以探究．
考题分类评析 | 探析嵌套函数y＝f(f(x))的零点问题

考题分类评析 | 探析嵌套函数y＝f(f(x))的零点问题

嵌套函数y＝f（f（x））的零点问题是较难的一类问题，求解这类问题的主要思想方法是换元法和数形结合思想，本文分类解析，供大家参考．
考题分类评析 | 直击含参不等式恒成立或有解问题

考题分类评析 | 直击含参不等式恒成立或有解问题

含参不等式恒成立或有解问题，是各类考试中的“常客”，这类问题通常可以转化为函数问题来解决，如f（x）≥m 恒成立，可以转化为fmin（x）≥m ;存在实数x，使得f（x）≥m 成立，可以转化为fmax（x）≥m ．有时这类问题还可以转化为两个函数的图像位置关系来解决．那么，求解这类问题有哪几种视角呢？本文举例说明．
重点辅导 | 不等式证明的四种意识

重点辅导 | 不等式证明的四种意识

不等式的证明是高中数学中较为常见的一种题型，它具有涉及知识面广、求证方法灵活多样、技巧性强等特点，因而具有一定的难度．求解这类问题虽然没有固定的解题规律可循，但还是存在着一定的“门道”和基本的思想方法．笔者认为不等式的证明应该有四种意识：作差比较意识、整体代换意识、函数意识和放缩意识．本文举例说明，供大家参考．
重点辅导 | 同构函数妙解不等式问题

重点辅导 | 同构函数妙解不等式问题

同构法是数学解题中一种重要的非常规方法，是破解考试压轴题的利器．所谓同构法，就是通过将不同的式子变形转化为形式结构相同或相近的式子，进而构造函数或方程，并利用函数或方程的性质来解决问题．在解决不等式问题时，同构函数作用非凡，本文举例说明．
重点辅导 | 浅析导数中的比较大小问题

重点辅导 | 浅析导数中的比较大小问题

高考压轴题中经常考查与导数有关的不等式问题，而比较大小问题就是其中一类较为特殊的题型．这类问题可以用常规方法求解，但过程往往较为烦琐，如果灵活选用构造函数、放缩、泰勒展开以及帕徳逼近等技巧，有时可以简化问题的求解过程，帮助学生更好地理解函数的相关性质和变化规律．
难点挑战 | 处理函数零点差问题的四种逼近策略

难点挑战 | 处理函数零点差问题的四种逼近策略

所谓函数零点差问题，是指形如“函数g （x）＝f（x）－a 有两个不同的零点x１，x２（x１＜x２），则x２－x１＜m 或x２－x１＞m ”这一类问题．此类问题考查函数的零点、函数的性质、导数运算等内容，涉及的考点较多，能有效考查学生的数学运算、逻辑推理等核心素养，是一类综合性强、难度较大的问题．常见的处理策略是放缩逼近，下面通过典型的示例展示．
难点挑战 | 巧构函数妙用单调性

难点挑战 | 巧构函数妙用单调性

函数是数学“大厦”的基石，函数思想是高中数学的基本思想方法之一．面对许多纷繁复杂的数学问题，如果能从函数的角度去分析，用函数的方法去处理，那么可能会收获意想不到的效果．尤其是对于那些看似与函数无关的“难题”，若能巧妙构造函数，并灵活运用该函数的单调性，那么“难题”就会迎刃而解．本文探究几种典型的题型．
难点挑战 | 两类形同质异的双变量不等式问题辨析

难点挑战 | 两类形同质异的双变量不等式问题辨析

双变量不等式证明问题在近年高考命题中多与导数综合命题，且以压轴题的形式出现．此类问题的常规处理方式是通过消元构造函数，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值、最值等．解题的关键是消元，题目所给双变量的约束条件不同，消元的方法也不同．下面辨析两类形同质异的双变量问题，并提出相应的处理策略．
难点挑战 | 三次函数问题的求解策略

难点挑战 | 三次函数问题的求解策略

在历年高考中，三次函数问题作为考查导数及其应用的载体，一直是命题的热点．那么求解三次函数问题我们应该有哪些意识呢？本文结合具体例子加以说明，供大家参考．
方法与技巧 | 探究数列不等式的证明方法

方法与技巧 | 探究数列不等式的证明方法

数列不等式问题既考查数列知识，又考查不等式解法，是数列与不等式的交会，体现了高考命题“一题多考”原则．这类问题既可能出现在数列解答题中，也可能出现在函数与导数的压轴题中．因此，研究数列不等式的证明方法十分必要．那么数列不等式的证明主要有哪些方法呢？本文举例说明．
方法与技巧 | 数学巧构造解题亦无忧

方法与技巧 | 数学巧构造解题亦无忧

在高中数学解题中，若一些题目难以直接采取常规思维方法解答，则可考虑利用构造法．构造法是一种常用的方法，多用于解决复杂的函数问题．解题时需准确分析问题条件与结论的关系，进而构造相应的数学对象，借助新构造的对象快速解决数学问题．因此，在解题时，学生应巧妙利用构造法，对问题进行转化，提高解题的准确性和效率．
方法与技巧 | 探究导数中与零点有关的双变量问题的解题策略

方法与技巧 | 探究导数中与零点有关的双变量问题的解题策略

在近几年高考和模拟考试中，函数与导数的综合应用试题经常涉及双变量问题，导数是研究函数问题的工具之一．函数兼具数形两种属性，因此处理这类问题的方法灵活多样．本文从多个角度对一类双零点变量的典型问题进行解题分析和变式运用，旨在帮助学生掌握解决导数中双零点变量问题的基本求解策略：将双变量转化为单变量、应用零点存在定理进行执果索因、应用割线和切线进行放缩．
方法与技巧 | 探究运用构造法求解数列问题

方法与技巧 | 探究运用构造法求解数列问题

构造法是解题中十分重要的一种思维方法，在求解函数、数列等问题中有着广泛的应用．构造法就是通过深入分析问题的已知条件和结论，抓住问题的本质特征，恰当地构造辅助元素或数学模型，使原问题条件与结论之间产生一种新的结构，这种方法具有构思精巧、联想丰富和出奇制胜等特点，并且构造并非凭空捏造，而是必有源头．那么在数列问题中，构造的源头在哪里呢？本文举例说明．
方法与技巧 | 从函数视角解决数列问题

方法与技巧 | 从函数视角解决数列问题

数列本身就是一种特殊的函数，该函数的定义域是正整数集N∗ 或它的有限子集．因此，数列具有函数的特征，求解有关数列的周期性、单调性、最值等问题可以类比函数同类问题的求解策略．
教与学 | 指向创新素养的跨学科教学设计与实施探究

教与学 | 指向创新素养的跨学科教学设计与实施探究

在当前科技与社会环境的快速演变背景下，数学教育已超越了传统公式推导与习题练习的范畴，更加重视学生问题解决能力、创新思维以及跨学科应用能力的培养．跨学科教学的核心在于打破学科间的界限，通过不同学科知识的融合与交叉，提升学生的综合素养与创新能力，是培养拔尖创新人才的关键途径．«普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）»中强调在问题解决的过程中，应理解数学内容的本质，促进学生数学学科核心素

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